3차원 계산 기하

2차원에서 풀었던 계산기하 문제들은, 대부분 3차원이나 고차원으로 확장이 가능하고, 거기에 대응되는 알고리즘들도 무궁무진하다
하지만 다행히도 PS에 등장하는 기하 문제들은, 3차원 이상의 차원을 대상으로는 그렇게 고난이도의 지식까지 요구하는 경우는 드문것 같다
문제를 풀다가 접했던 기본적인 내용들만 정리해보겠다.

기본

3차원에서도 2차원과 마찬가지로 점 두개가 주어지면 직선을 유일하게 정의할 수 있다.
그리고 3차원에서는 점 세개가 주어지면 평면을 유일하게 정의할 수 있다.

벡터의 활용

벡터곱

원래 벡터곱은 3차원 벡터간에 정확하게 정의되는 연산이다.
$ {\mathbf {a}}\times {\mathbf {b}}={\hat {{\mathbf n}}}\left|{\mathbf {a}}\right|\left|{\mathbf {b}}\right|\sin \theta =[a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}] $
- a와 b의 벡터곱의 크기는 a와 b로 만들어지는 평행사변형의 넓이이고
- a와 b의 벡터곱의 방향은 a와 b에 대해 모두 수직인 방향이다.
  - 사실 수직인 방향이 두가지인데, 일반적으로 쓰이는 위의 공식은 오른손 좌표계 방향을 따르도록 계산하는 방식이다.

def cross_product(u, v):
    ux, uy, uz = u
    vx, vy, vz = v
    return (uy * vz - vy * uz, uz * vx - vz * ux, ux * vy - vx * uy)

스칼라곱

스칼라곱은 2차원 벡터의 경우와 똑같다.
다음과 같이 계산된다.
- $ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}} $
이는 두 벡터의 길이와 사이각의 cos값을 곱한 것과 같다
- $ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\begin{cases}\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\mathbf {a} \neq \mathbf {0} \land \mathbf {b} \neq \mathbf {0} \\0&\mathbf {a} =\mathbf {0} \lor \mathbf {b} =\mathbf {0} \end{cases}}} $

def dot_product(u, v):
    ux, uy, uz = u
    vx, vy, vz = v
    return ux * vx + uy + vy + uz + vz

평면의 법선

평면이 평면 위의 세 점으로 정의되는 경우에 벡터를 구하는 문제.
P,Q,R 을 포함하는 평면과 수직인 벡터는, 벡터PQ와 벡터PR과도 모두 수직이다
그러므로 PQ와 PR의 벡터곱을 구해주면 평면의 법선벡터가 된다.

def normal_vector(p, q, r):
    u = (p[0] - q[0], p[1] - q[1], p[2] - q[2])
    v = (p[0] - r[0], p[1] - r[1], p[2] - r[2])
    return cross_product(u, v)

평면을 기준으로 점의 방향성 구하기

2차원에서 세점의 방향성을 구하는 것의 확장이다.
2차원에서 P,Q,R의 방향성을 구하는 것은, 결국 PQ를 연결하는 직선이 평면을 둘로 나눴을때, R이 어느쪽에 속하는지를 찾는 문제였다
3차원에서는 P,Q,R을 포함하는 평면이 3차원 공간을 둘로 나눴을때, X가 어느쪽에 속하는지를 찾는 문제가 된다.
이것을 구하는 간단한 방법은, 평면에서 X를 향하는 벡터와 평면의 법선벡터와의 각도를 구해서, 그 각도가 180보다 작은지 큰지를 확인하는 것이다.
구체적으로는, 평면의 법선을 구한뒤에, 벡터 PX와의 스칼라곱을 계산한 뒤에, 부호를 확인하면 된다.
- 스칼라곱에는 각도의 cos값이 곱해지므로, 각도가 180도 미만이면 양수, 180도 초과면 음수가 된다.
스칼라곱이 +면 법선방향, -면 법선 반대 방향, 0이면 평면 위에 있는 것이다.

목차

3차원 계산 기하

기본

벡터의 활용

벡터곱

스칼라곱

평면의 법선

평면을 기준으로 점의 방향성 구하기