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ps:소인수분해

목차

소인수분해 (Prime Factorization)

  • Integer Factorization 이라고도 불린다 (이게 더 흔히 쓰이는 표현같기도..)

n을 소인수분해하기

  • 참고 - https://cp-algorithms.com/algebra/factorization.html https://aruz.tistory.com/entry/factorization-1
  • 소인수분해는 암호학이나 여러 분야에서 매우 중요하게 사용되는 알고리즘이고, 그러다보니 다양한 알고리즘이 있는데.. PS 범위에서는 trial division과 Pollard's rho 두가지만 알면 충분하다
    • 실제로는 더 효율적인 알고리즘들이 있지만.. 2^64 정도의 범위에서는 Pollard's rho 방법으로도 충분히 잘 돌아가는것 같다.
    • 페르마의 방법 이나 Pollard's p-1 등은 Pollard's rho보다 장점이 없기 때문에 굳이 알 필요가 없지만, 소인수분해에 대한 이해를 위해서라면 읽어봐도 좋다
    • https://koosaga.com/239은 더 효율적일수도 있지만, 복잡해서 PS에서는 못쓸것 같은 알고리즘이다. 한번 봐둬도 도움은 될듯.
  • 소인수분해 결과는 p_1^k_1 * p_2^k_2 * … * p^n^k_n 의 형태로 나온다. 코드를 구현할때는 리턴값으로 p_i를 키로 k_i를 밸류로 갖는 dict를 리턴하도록 만들었다. n이 1일때는 빈 딕셔너리를 리턴한다

Trial division

  • n이 적당히 작은 경우에 효율적이다.
  • 그냥 i=2부터 시작해서 i*i<n이 될때까지 전부 나눠보는 방식. 소수일 경우에 최대 sqrt(n)번의 루프를 돌아야 한다. 시간복잡도는 O(sqrt(n))
  • 소수 체크를 할때와는 다르게 루프를 2~sqrt(n)까지 도는게 아니라, 매번 i*i를 계산해서 n을 넘으면 중단하는 식으로 구현한다. 그 이유는 소인수를 발견하면 n을 그값으로 나누는 작업때문에 n이 점점 작아지기 때문에 이렇게 처리하는것이 보통 더 효율적이기 때문이다. 하지만, n이 소수인 경우에는 사실 이 과정이 불필요하고, 그냥 sqrt(n)을 먼저 구해놓고 거기까지 루프를 도는게 빠르긴 하다. 즉.. 평균적으로는 i*i 로 브레이크하는게 빠르지만, 최악경우에는 sqrt(n) 까지 돌리는게 빠르다는 의미.. 그치만 속도 차이는 별로 없다
  • 역시 wheel optimization 도 가능하다. 2의 배수만 따로 전처리하면 빨라진다. 그 이상은 안해봄
  • 사실 이 로직을 최적화하는 것이 중요해질 정도로 n이 커질 경우에는 아래에서 설명할 Pollard's Rho를 적용할 것이기 때문에, 굳이 상수최적화에 진심을 다할 필요는 없긴 하다..
  • 코드
  • 관련 문제

Pollard's Rho

시간복잡도

  • Pollard's Rho 알고리즘의 시간복잡도는 평균 O(n^1/4)라고 부르지만, 모든 수에 대해서 성립하는지는 증명되지 않았다고 한다
    • O(n^1/4) 번의 루프안에서는 매번 gcd 연산이 들어가는데, 이것을 포함해서 O(n^1/4 * logn)이라고 쓰는 경우도 있기는 하다. 하지만 Brent 방식을 쓰면 매 루프마다 gcd를 계산하지 않아도 된다.
  • Pollard's Rho 알고리즘 자체는 인수 하나를 찾아주는 알고리즘이므로, 소인수분해를 하기 위해서는 Pollard's Rho 를 반복해서 돌려야 한다. 인수 f를 찾은 다음에 n/f 와 f에 대해서 다시 Pollard's Rho 알고리즘을 돌리는 식으로 동작하게 되는데, 이렇게 반복해서 돌리는것을 고려해도 전체 소인수분해의 시간복잡도는 O(n^1/4)이 된다.

구현

  • 구현상에서 주의할 점이 좀 많다.
  • Pollard's rho 알고리즘은 기본적으로 인수 하나를 찾는 알고리즘이다.
  • 이 함수는 수도랜덤생성함수 f와 (보통 f(x)=x*x+c 로 준다), 초기값 x0를 갖고서 작업을 수행하게 되는데, 기본적으로는 아래처럼 구현된다. 
    • def pollard_rho(n, x0, c):
    x, y = x0, (x0 * x0 + c) % n            
    while (g := math.gcd(x - y, n)) == 1:
        x, y = (x * x + c) % n, (y * y + c) % n
        y = (y * y + c) % n
    return g
      • cpp 계열의 gcd 함수는 두 인자가 모두 양수여야 해서, abs(x-y)처럼 써줘야 하지만, python의 math.gcd는 abs를 안붙여도 제대로 된 값을 준다.
      • cpp에서는 x*x를 계산할때 오버플로우되지 않게 하기 위해서 추가 구현이 필요하지만, 파이썬에서는 신경쓸 필요가 없다.
      • x0와 c는 랜덤으로 생성된 값을 주거나, 그냥 고정된 값을 주는 경우도 있다. 고정된 값을 쓴다면 c=1, x0=2 를 쓰는것이 일반적이다
  • 하지만 이 함수를 그대로 쓰기에는 문제가 있다.
  • 우선, 운나쁘게도 찾아낸 인수 g가 n과 같은 경우가 있다. 이 경우에는 f와 x0를 바꿔서 다시 돌리는 것이 정석이다. f(x)=x*x+c 의 형태는 유지한 채로, c값과 x0를 바꿔서 돌리면 된다. 랜덤을 다시 돌려서 찾거나, 이전값에서 1을 증가시키던가 해서 처리한다.
    • 이때 주의할점은, x0만 바꿔서는 돌려서는 안된다. 대표적인 예가 124376107291 을 인수분해 하는 경우인데, f=x*x+1 을 사용해서는 초기값을 아무리 바꿔도 인수를 찾아내지 못하고, 무한루프로 빠지게 된다. 차라리, x0는 안바꾸고 c만 바꾸는 것은 동작한다.
    • https://lpha-z.hatenablog.com/entry/2023/01/15/231500 를 참고하라
    • pyrival 에서도 f를 고정시키고 x0만 바꾸는 방식의 잘못된 구현을 사용하고 있다.
  • 다음으로는 n이 소수일 경우이다. 이때는 인수가 진짜로 없으므로 f와 x0를 아무리 바꿔서 다시 돌려도 당연히 인수를 찾지 못한다. (g가 n으로 나온다). 따라서 폴라드 로를 돌리기 전에 미리 n이 소수인지 소수 판별 (Primality Test)을 하고 소수가 아닌 경우에만 폴라드로를 돌리도록 한다.
    • 그래서, 폴라드로 알고리즘의 난이도는 폴라드로 자체보다도 오히려 소수판별을 위해 쓰는 밀러라빈의 난이도가 더 높다는 의견도 있다.
    • 지금처럼 밀러라빈+폴라드로를 세트로 묶어서 사용하는 것이 일반화되기 이전에는, 소수판별을 미리 하지 않고 그냥 돌려서 g==n일 경우 f와 x0를 바꿔서 몇번 더 돌려보고 계속 g==n이 나올경우에는 소수라고 간주하는 방식으로 돌리기도 했다고 한다.
  • 이부분을 추가하면 다음과 같아진다
    • def find_factor(n):
    if is_prime(n):
        return n
    x0 = 2
    for c in itertools.count(1):
        g = pollard_rho(n, x0, c)
        if g != n:
            return g
  • 소인수분해를 하기 위해서는 폴라드로 알고리즘으로 한개의 인수를 찾는것을 반복적으로 수행해야 한다
  • n의 인수 f를 찾고 나면, f와 n/f에 대해서 다시 폴라드로를 돌려야 한다. 가장 간단한 것은 재귀로 구현하는 것이다. 아래는 pyrival의 구현체이다
    • def prime_factors(n):
    """returns a Counter of the prime factorization of n"""
    if n <= 1:
        return Counter()
    f = find_factor(n)
    return Counter([n]) if f == n else prime_factors(f) + prime_factors(n // f)
  • pollard_rho(n, x0, c) 함수를 brent의 방법으로 바꿔서 속도를 더 빠르게 할수있다.
  • https://cp-algorithms.com/algebra/factorization.html#brents-algorithm 의 코드를 거의 그대로 python으로 옮기면 아래처럼 된다.
    • def brent_pollard(n,x0,c):
    m, l, x, g, q = 128, 1, x0, 1, 1
    while g == 1:
        y = x
        for _ in range(l - 1):
            x = (x * x + c) % n
        k = 0
        while k < l and g == 1:
            xs = x
            for _ in range(min(m, l - k)):
                x = (x * x + c) % n
                q = q * abs(y - x) % n
            g = math.gcd(q, n)
            k += m
        l += l
    if g != n:
        return g
    g = 1
    while g == 1:
        xs = (xs * xs + 1) % n
        g = math.gcd(xs - y, n)
    return g
    • m 값에 대해서는 여기에서는 128을 줬는데, 1000을 사용하는 코드도 있다.
  • https://qiita.com/t_fuki/items/7cd50de54d3c5d063b4a 에서는 좀더 python에 맞춰 정리된 brent 알고리즘 코드가 있다. m을 n^(1/8)로 잡고 있다.
  • https://judge.yosupo.jp/submission/124476에서는 이 코드를 다시 깔끔하게 최적화한 코드를 볼수 있다.

코드

관련 문제

  • …

여러개의 수를 소인수분해하기

  • x_1, x_2, …, x_k 를 모두 소인수분해하기. 모든 수는 n이하라고 생각하자.
  • 소인수분해해야 할 수의 갯수 k에 따라서 다음중 적당한 방법들을 선택하면 된다 (n은 trial division으로 소인수분해가 가능한 범위라고 새생각하자)
    • k가 작으면, 그냥 위의 trial division 방법을 모든 x_i에 대해서 적용하면 된다. O(k*n^1/2)
    • k가 적당히 크면, 먼저 sqrt(n)이하의 소수 목록을 모두 계산해놓고, 그것에 대해서만 trial division을 사용하는 게 좀더 빠를수 있다
      • 에라토스테네스의 체를 이용해서 소수 목록을 구하는 데에 O(sqrt(n)*loglogn)
      • 목록의 소수들만 이용해서 소인수분해를 하는데 O(sqrt(n)/ln(n))
      • k개를 처리하는 총 시간복잡도는 대략 O(sqrt(n)*(loglogn + k/logn)).
      • 관련 문제 - 2312
    • k가 크면 (n에 가까울 정도로), 아래의 방법을 사용하자 O(n + klogn)

[1,n]까지의 모든 수를 소인수분해하기

  • 이 경우는, 모든 수에 대해서 최소인수를 미리 전처리해놓는 방식으로 구현한다.
  • 모든 수에 대해서 최소인수를 구하는 것은 보통 linear sieve를 이용하는 것으로 설명하는 자료가 많은데, 에라토스테네스의 체를 써서도 가능하긴 하다. 하지만 linear sieve를 이용하는 것이 조금 더 빠르다. 시간복잡도는 O(n).
  • 모든수의 최소인수를 구하고 나면, 임의의 수 x의 소인수분해를 O(Ω(x))에 처리할 수 있다. Ω(x)(Prime omega function)은 x 소인수의 개수를 의미하는데, 최악의 경우 O(logx), 평균적으로는 O(loglogx)이다.
  • 결과적으로 1~n까지의 모든 수를 소인수분해하는 것도 O(nloglogn) 에 가능하다
  • 코드
  • 관련 문제

토론

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ps/소인수분해.txt · 마지막으로 수정됨: 2024/02/23 03:07 저자 teferi